牛莱公式使用条件（定积分的牛莱公式）

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牛顿-莱布尼茨公式算得上积分学中最基本最重要的公式了，记得上学时没有好好学高等数学，当时感觉好深奥。如今静下心来，发现也并不是完全不能理解。

牛莱公式使用条件（定积分的牛莱公式）

牛顿-莱布尼茨公式

假设F（x）是连续函数f（x）在区间【a，b】上的一个原函数，即f（x）是F（x）的导数。我们在区间【a，b】中依次插入n个点（n趋于无穷大）x?、x?、x?……x???、x?把区间分成n+1份，且每一份的宽度都趋近0。根据导数的定义有以下等式（当然各式成立的前提都是基于a、x?、x?、x?……x???、x?、b相邻点之间的间距趋于0）：

f（a）=【F（x?）-F（a）】/（x?-a）

f（x?）=【F（x?）-F（x?）】/（x?-x?）

f（x?）=【F（x?）-F（x?）】/（x?-x?）

f（x?）=【F（x?）-F（x?）】/（x?-x?）

…

…

f（x???）=【F（x?）-F（x???）】/（x?-x???）

f（x?）=【F（b）-F（x?）】/（b-x?）

对上述各式作变形处理，可以得到如下各式：

f（a）（x?-a）=F（x?）-F（a）

f（x?）（x?-x?）=F（x?）-F（x?）

f（x?）（x?-x?）=F（x?）-F（x?）

f（x?）（x?-x?）=F（x?）-F（x?）

…

…

f（x???）（x?-x???）=F（x?）-F（x???）

f（x?）（b-x?）=F（b）-F（x?）

上述各式等号左侧相加，等号右侧相加，整理得

f（a）（x?-a）+f（x?）（x?-x?）+

f（x?）（x?-x?）+f（x?）（x?-x?）+…

+f（x???）（x?-x???）+f（x?）（b-x?）=

F（b）-F（a）

n趋于无穷大，并且a、x?、x?、x?……x???、x?、b相邻点之间的间距都趋于0时，根据定积分的定义发现上式左侧其实就是f（x）在区间【a，b】上关于x的积分，写成积分形式即是牛顿-莱布尼茨公式。

以上内容只是为了分享自己对公式的理解，并非严格证明。如有错误，欢迎指出。

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